Methanol to ethanol

$\text{CH}_3\text{OH} + \text{PCl}_5 \longrightarrow \text{CH}_3\text{Cl} + \text{POCl}_3 + \text{HCl}$ $\text{CH}_3\text{Cl} + \text{KCN (alc.)} \longrightarrow \text{CH}_3\text{CN} + \text{KCl}$ $\text{CH}_3\text{CN} + 2\text{H}_2\text{O} + \text{H}^+ \longrightarrow \text{CH}_3\text{COOH} + \text{NH}_4^+$ $\text{CH}_3\text{COOH} \xrightarrow{(1) \text{LiAlH}_4, \text{ ether} / (2) \text{H}_3\text{O}^+} \text{CH}_3\text{CH}_2\text{OH}$